数学の式を因数分解する方法

因数分解

学習する学年:中学生

1.因数分解の説明

因数分解と聞いて、中学生の時に、結構苦労した思い出がよみがえってくる方もいるのではないでしょうか?

因数分解は、いったい何をやっているのか言葉の意味がわからない方の為に、因数と分解という言葉を別々に考えてみます。

  • 因数とは、1つの式や数字が2つ以上の式や数字の積で表される時の数字や式のことをいいます。
  • 分解とは、1つにまとまっているものをいくつかのものに分けることです。

ですので、この、因数分解という言葉は簡単にまとめてしまえば、式を展開することの逆バージョンであるといえます。

例えば、15という数は、3×5で表されます。
この3や5が因数となります。

例えば

因数分解とは

という式は、(x+a)と(x+b)が因数となります。整式の積を構成しているもののことが因数です。

要するに、因数分解とは、1つの整式を複数の整式の積で表すことです。複数の整式の積を展開すると1つの整式で表すことができ、展開した整式を因数分解すると複数の整式の積で表すことができます。

展開は機械的にできるので易しいと思いますが、因数分解はテクニックや経験が必要になってきますので解くのは厄介です。

因数分解する方法は、主にたすき掛けを使う方法と公式を使う方法の2種類があります。

どちらを使えばいいのかは使いやすい方で構いません。問題の複雑さによって使いやすさが変わってきますので、いろいろ試してみてください。

下で、たすき掛けを使う方法と公式を使う方法を説明します。

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2.たすき掛けを使って因数分解する方法

たすき掛けを使う方法は計算が一見複雑そうに見えますが、コツを覚えれば簡単に行えますので覚えておいて損はありません。

むしろ、公式よりもたすき掛けの方が使う頻度は高いと思いますし、使い道はたくさんありますので解き方を1通り覚えておいてください。

それでは、次の方程式を因数分解して、その後に解を求めてみましょう。

たすき掛けで因数分解する方法1

手順1.
この式から、それぞれの項から係数を抜き取ります。

たすき掛けで因数分解する方法2

手順2.
次は、何かと何かを掛け合わせたら1になる何かの数を書き込みます。

この場合は、1×1=1で1と1を書き込んでみます。

たすき掛けで因数分解する方法3

手順3.
その次も、何かと何かを掛け合わせたら+6になる何かの数を書き込みます。

この場合は、2×3=6で2と3を書き込んでみます。

たすき掛けで因数分解する方法4

手順4.
最後は、書き込んだ数をななめに掛け合わせた数を書き込みます。

その書き込んだ数を足し合わせてみて5になるか確かめます。

この場合は、

  • 1×2=2
  • 1×3=3

したがって、2+3=5になりました。

たすき掛けで因数分解する方法5

手順5.
横線の上下の数が一致したこの状態(1×1=1、2×3=6、2+3=5)で、次のように数を抜き取りxを付け加えます。

たすき掛けで因数分解する方法6

よって、たすき掛けで因数分解した答えは、

たすき掛けで因数分解する方法7

になりました。

この因数分解した答えからxの値を求めると、x+2=0、x+3=0となる値を求めればいいので、x=-2と-3になります。

x=-2と-3が合っているか確認する為に、x2+5x+6=0に代入して確かめてみましょう。

  • x=-2の時:4-10+6=0
  • x=-3の時:9-15+6=0

どちらも0となりましたので合っていることがわかりました。

3.公式を使って因数分解する方法

公式を使って因数分解する方法は、式を公式に当てはめて使います。

公式を使った方が簡単にできそうに思えますが、公式を覚えるのに時間が掛かかりますので、たすき掛けと併用した方がいいです。

下によく使う公式を載せておきます。

因数分解する時に使う公式1

こういう公式もあります。

因数分解する時に使う公式2

今回の上で解いたたすき掛けを使った問題は、下の公式を使えば解けます。時間がある方は公式を使って解いてみてください。

因数分解する時に使う公式3

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