数学の正弦定理についての説明

正弦定理

学習する学年:高校生

1.正弦定理の説明

みなさんは高校生の時に、余弦定理を勉強したと思いますがどんな内容だったか覚えていますか?

余弦定理とは、三角形のそれぞれのcos(コサイン)についての角とその角に対する辺の長さとの関係を表していました。

今回勉強する正弦定理は、三角形のそれぞれのsin(サイン)についての角とその角に対する辺の長さとの関係を表していて、とても便利な公式です。

余弦定理はcosについての角を用いましたが、正弦定理はsinについての角を用います。

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2.正弦定理の公式について

正弦定理は、次のような3つの関係式で成り立っています。
(正弦定理の正弦とはsinのことを意味しています。)

正弦定理の公式

それでは、公式をみてもらったところで、この公式を三角形の図形を使って説明します。

正弦定理を三角形を使って説明

正弦定理の公式と三角形の図形を見ると、次のように三角形のある辺の長さ(a、b、c)は、それぞれの角と関係していることがわかります。

角と辺の関係について
角Aと辺a
角Bと辺b
角Cと辺c

はお互い向かい合っていることがわかります。

この公式はどんな三角形でも成り立ちますので、いろいろな場面で使うことができます。

3.正弦定理の公式を使ってみましょう

それでは、気分転換に下の問題を解いてみましょう。
下の図の辺aの長さを求めてください。

sin35°=0.574
sin75°=0.966
として計算しましょう。
(sinは三角比の表か関数電卓で計算すると求まります。)

図形の辺の長さを正弦定理を使って計算する

上の公式に値(sinA、sinC、辺c)を当てはめると答えが求まります。

正弦定理の公式に値を代入して計算する

よって、答えは

正弦定理の計算結果

となりました。

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