数学の授業で勉強する積分について

積分の考え方

学習する学年:高校生

1.積分って何?

高校に進学すると微分・積分の授業が始まりますよね。

みなさんは、積分という言葉を聞いて何を思い浮かべますか?

難しい公式を使ってよくわからない複雑な計算をしている、というイメージを持っている方が多いのではないでしょうか。

積分は簡単にいうと、ある区間の面積を求めています。

普通に面積求める時は、

  • 四角形の場合は縦×横
  • 三角形の場合は底辺×高さ÷2

をして計算していますが、積分はそのような方法を使って面積を求めていません。

では、どうやって面積を求めているのか疑問に思いませんか?

ここでは、積分の基本的な意味について説明していきます。

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2.積分の説明

下の図を使って説明します。

例えば、下の図の横軸のa~bまでの範囲の面積を求めてみたい時を考えてみましょう。

積分の意味を説明する図

数学の教科書に載っている積分の公式は次のようになっています。

積分の公式

この公式は、関数f(x)を変数xの値がa~bの範囲で積分するという意味を持っています。

公式のa、bは、aは範囲の開始の位置、bは範囲の終わりの位置を表しています。

まず、関数y=f(x)の直線とa~bで囲まれた範囲を細かくいくつかの短冊形にします。

次に、この短冊形をどんどん足し合わせていきます。この作業を続けていくと最終的に面積が計算できます。

積分は、このような方法を使って面積を求めています。

この図はおおざっぱですのでカクカクしていますが、この短冊形の横幅を限りなく小さくする(極限にする)とカクカクは無くなると思いませんか?

微分の時にもでてきましたが、微小量dxという記号は積分でもでてきます。

積分の公式にでてくるdx(短冊形の横幅のdx)は変数xについて積分することです。とても小さいという意味を含んでいます。

ここまでの説明で、積分の式の意味(細かくして足し合わせている)が、なんとなくわかってもらえたでしょうか。

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