数学の有理化の説明

有理化

学習する学年:中学生

1.有理化の説明

有理化とは、分数の分母の値にルート(平方根)があるときは、分母からルート(平方根)をなくしてしまいましょう、という作業を行うことです。

みなさんは、分数の構造は覚えていますか?

分数は下の説明のように分母と分子があり、分数の下の数は分母で上の数は分子です。

分数の構造

分数の分母にルートがある時は、なぜ有理化をしなければいけないのかというと、分母にルートがない方が数が見やすくなると思いませんか?

その数を使って次の計算が簡単にできるようになると思いませんか?

このように、いろいろ便利になることがありますので有理化を行います。

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2.有理化する方法

それでは、有理化する方法を説明します。

分数の分母と分子の両方の数に、分母の数を掛け合わせると有理化ができるようになります。

例えば、次のような数を有理化する場合を考えてみましょう。

有理化をする式

このような、分母にルートを含んだ分数を有理化するには、ルート5を分母と分子に掛け合わせてください。

有理化の計算

同じルートの数を2回掛け合わせれば、分母のルートをなくすことができますよね。

したがって、答えは

有理化の計算結果

になります。

3.有理化する方法(分母にルートの足し算がある時)

もう1つ、有理化について説明します。

次のような、分数の分母にルートの足し算が含まれている式を有理化する場合を考えてみましょう。

分母にルートの足し算がある分数

この式の分母には、ルートの数が2つありそれぞれの数を足し合わせています。

この場合は、√5だけ掛け合わせてもダメ、√3だけ掛け合わせてもダメ、√5+√3を掛け合わせてもダメです。

そのような場合は、2つの数の間の符号を反転させたもの(プラスのときはマイナス、マイナスのときはプラス)を分母と分子に掛け合わせてください。

分母にルートの足し算がある時の有理化の説明

どんどん計算していきましょう。

分母にルートの足し算がある時の有理化の計算

したがって、答えは

分母にルートの足し算がある時の有理化の計算結果

になります。

関数電卓などで計算してもらうとわかりますが、有理化する前と有理化した後の値は同じになります。

有理化した方が数が見やすくなるだけですので値の変化はありません。

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