数学の虚数の意味の説明

虚数

学習する学年:高校生

1.虚数の説明

高校生になると虚数という勉強を学校ですると思います。

しかし、虚数について勉強してもいまいちよく理解できなかった方は多いのではないでしょうか?

虚数とは、漢字を見た通りの意味で実際にはない数のことを言っています。

つまり、想像上の数のことを虚数として表しています。

数は、数直線上に埋め尽くされている有理数と無理数を合わせた実数で表現できますが、数直線上に表すことができない数(2次方程式の解など)がある場合は想像上の数である虚数を使って表すことになります。

また、虚数が含まれている数は、a+biというように複素数で表します。

複素数は、下のグラフの複素平面(複素数平面、ガウス平面)で表すと、横軸のaの実部(リアルパート:Real Part)と縦軸のbの虚部(イマジナリーパート:Imaginary Part)の2軸によって構成されています。

複素数を表すグラフ

実部と虚部の表し方ですが、次のように行います。

  • 虚部であるbの値が0の時は実数となり横軸の実部のみで表します。
    したがって、aの値だけになります。
  • 虚部であるbの値が0でない時は虚数となり、縦軸の虚部のみで表すか、縦軸と横軸の実部と虚部の両方で表します。
    したがって、bi又はa+biの値になります。

虚数を記号で表すと、アルファベットの小文字の i(アイ) または j(ジェイ) を使って表します。

iまたはjは虚数単位ともいわれて、このiまたはjを式で表すと次のような数になります。

虚数の性質

この式を見てもらうと、iまたはjとは負の平方根(ルートマイナス1)のことで、iを2乗すると-1となります。

中学校の時は、ルートの中にマイナスがある場合は計算できないと教わりました。実際に関数電卓で計算するとエラーになります。

しかし、虚数という概念を使えば負の平方根(ルートの中がマイナスの数になっている値)はイマジナリーパートで表現できるようになります。

このように、虚数とは複素平面の縦軸の虚部の値のことです。わかりましたでしょうか。

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