算数の最大公約数の求め方

最大公約数の求め方

学習する学年:小学生

1.最大公約数の説明

最大公約数とは、2つ以上の正の整数(自然数)に共通な約数のうち最大の数のことをいいます。但しゼロは除きます。

つまり、公約数の中で一番大きな共通する数が最大公約数ということです。

みなさんは、約数の意味と求め方は覚えていますか?

約数とは、ある数をあまりを出さずに割り切れる数のことでしたよね。

例えば、6と15の最大公約数を求める時は、それぞれの数の約数を求めて、6の約数(1、2、3、6)と15の約数(1、3、5、15)で共通する一番大きい数を探せば最大公約数は求まります。答えは3になります。

しかしながら、このように計算すると計算間違えすることもよくあり時間も掛かりますし、最大公約数の定義だけを聞いてもどうやって解いたらいいのかさっぱりわからないという方もいますので、最大公約数を間違いなく求めるには、機械的に次の順序にしたがって計算することをおすすめします。

  1. 最大公約数を求めるそれぞれの数を素因数分解します。
  2. 素因数分解した数をそれぞれ重ねていきます。
  3. 重なった数だけを掛け合わせます。

この順番に計算していくと簡単に最大公約数を求めることができます。

それでは、実際に手を動かして問題を解いてみましょう。

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2.最大公約数の計算1

それでは、40と30の最大公約数を求めてみましょう。

まず初めに行う作業は、40と30をそれぞれ素因数分解します。

素因数分解とは、ある数を素数の積で表した形のことをいいます。素因数分解という言葉を見ると難しそうな雰囲気がありますが、次のようにすだれ算(さかさわり算)をすれば簡単に求まります。
※すだれ算とは割り算記号を逆の形にして割っていくスタイルの計算方法です。

40と30の素因数分解

40と30を素因数分解すると、

  • 40=2×2×2×5
  • 30=2×3×5

となります。

次は、素因数分解した数をそれぞれ重ねていき、重なった数(共通の数とその個数分)を掛け合わせます。

40と30を素因数分解した数を重ねる

この場合は、2と5が重なりましたので、2×5=10となります。

したがって、10が40と30をあまりを出さずに割り切れる最大の数となるので、「40と30の最大公約数は10」というのが答えです。

3.最大公約数の計算2

最後に、8と12の最大公約数を求めてみましょう。

この例題も上記の例題と同じ方法で計算してください。素因数分解して重なった数を掛け合わせて解いていけば答えはでます。

まずは、8と12をすだれ算(さかさわり算)を使って素因数分解してください。

8と12の素因数分解

8と12を素因数分解すると、

  • 8=2×2×2
  • 12=2×2×3

となります。

次は、素因数分解したそれぞれの数を重ねていき、重なった数(共通の数とその個数分)を掛け合わせます。

8と12を素因数分解した数を重ねる

この場合は、2と2が重なりましたので、2×2=4となります。

したがって、4が8と12をあまりを出さずに割り切れる最大の数となるので、「8と12の最大公約数は4」というのが答えです。

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