数学の2次関数(方程式)のグラフの説明

2次関数(方程式)のグラフ

学習する学年:中学生

1.2次関数(方程式)y=x2のグラフの説明

今回は、2次関数(方程式)について考えてみます。

2次関数とは、未知数の次数が2になっている式の関数のことをいいます。

次数とは、x2を例にすると、エックスの2乗という何乗の部分のことです。
この部分が2になっている式が2次関数となります。

それでは、次の2次関数の式をグラフに描いてみましょう。
※グラフとは関数(方程式)を満たす点の集合のことです。

2次関数の式(xの2乗)

y=x2の式をグラフに描くとこのようになります。

2次関数の式(xの2乗)をグラフに描く

次は、増減表を作ってみます。

2次関数の式(xの2乗)の増減表

この増減表で求めたx、yの値をプロットすればグラフを描くことができます。

グラフを見ると、y軸を対象軸として曲線を描いていることがわかると思います。

この2次関数のグラフの曲線のことを放物線といい、y軸を中心として左右対称となります。

詳しくは、2次関数 でもふれていますので参考にしてください。

また、グラフが一番ふくらんで向きが反転する位置(x=0、y=0)を放物線の頂点といいます。
※この場合は頂点がyの値が一番小さくなるので最小値となります。

このように、下に頂点を持ち上に開いた放物線のグラフのことを下に凸(したにとつ)といいます。

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2.2次関数(方程式)y=-x2のグラフの説明

次は、マイナス符号がついた2次関数の式を見ていきましょう。

2次関数の式(-xの2乗)

y=-x2の式をグラフに描くとこのようになります。

2次関数の式(-xの2乗)をグラフに描く

このグラフは、2次関数の式(xの2乗)の向きを上下反転していることがわかります。

このように、上に頂点を持ち下に開いた放物線のグラフのことを上に凸(うえにとつ)といいます。
※この場合は頂点がyの値が一番大きくなるので最大値となります。

上の2つのグラフを比べると、式にマイナスが付いている時と付いていない時の違いがわかったと思います。

次数が2の係数がプラスの時は下に凸の放物線、マイナスの時は上に凸の放物線となります。

3.2次関数(方程式)y=x2+1のグラフの説明

最後に、次の2次関数の式を考えて見ましょう。

2次関数の式(xの2乗+1)

y=-x2+1の式をグラフに描くとこのようになります。

2次関数の式(xの2乗+1)をグラフに描く

このグラフは、頂点の位置がいままでのグラフと違います。
これは1次関数(方程式)のグラフで説明したように、切片が1になるからです。
よって、(x=0、y=1)が頂点になります。

1次関数はどこでも傾きは同じでしたが、2次関数では場所によりyの変化分「傾き」は変わってくるので注意してください。

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