物体の落下運動でF=maから加速度、速度、距離を積分を使って求める

落下運動について

学習する学年:高校生

1.落下運動の説明

ここでは、ものの運動や重力について勉強する時に、初心者がつまずきやすい落下運動について簡単に説明します。

例えば、ビルの上から物体を落とした時に、この物体の加速度、速度、距離をどのように求めるのか考えてみましょう。

まず、計算を始める前に重要な法則があります。みなさんもよく知っている、ニュートンの運動方程式です。

ここでは、ニュートンの運動方程式の第2法則を使います。

ニュートンの運動方程式の第2法則とは、力、質量、加速度の関係について表した法則のことです。
※1Nの力は質量1kgの物体に加速度1m/s2を生じさせることを定義したものです。

ニュートンの運動の第2法則の式を表すと次のようになります。

  • F=ma

※F=力(N)、m=質量(kg)、a=加速度(m/s2

運動方程式は、力と質量は比例するので物体の質量が大きい程物体を動かすのに大きな力が必要、力と加速度は比例するので物体に加える力を大きくすると加速度(速度)は大きくなるということを表しています。
※加速度は、1秒間当たりに速度が変化する割合のことです。

このF=maを使って加速度について説明していきます。

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2.加速度の求め方

ニュートンの第2法則を使って物体に作用する重力による加速度を求めてみましょう。

地球は重力の大きさの重力加速度が生じていますので、gという重力加速度の記号を使って計算します。

加速度について計算すると次のようになります。

F=maを使って加速度の求め方

落下する物体はこの重力加速度gを受けて、加速しながら地面に向かって落ちていきます。

3.速度の求め方

次は、物体の速度を求めてみます。

物体の速度は、積分を使うと計算できます。

まずは、加速度の式と積分の計算方法を覚えていますか?

加速度の式は、加速度=速度÷時間ですね。
※正確には、加速度=(時間が経過した後の速度-初めの速度)÷経過時間

上記の式は平均の加速度を求める式です。ここでは瞬間の加速度を求める式を使いますので、次のように速度を時間で微分した式になります。

瞬間の加速度の計算

積分とは、細かくした面積を足し合わせていくことです。積分を使って、瞬間の加速度と時間の積を足し合わせていくと速度が導きだせます。

したがって、瞬間の加速度の式を、加速度の求め方で導きだしたa=gの式に代入して、両辺を時間について積分すると速度が求められます。

積分を使った速度の求め方

求めた速度の式を見てもらうと、物体の速度は時間に比例して速くなることがわかります。

4.距離の求め方

最後は、物体が移動する距離を求めてみます。

物体の移動距離は、積分を使うと計算できます。

まずは、速度の式を覚えていますか?

速度を求める式は、速度=距離÷時間ですね。
※正確には、速度=移動した距離÷掛かった時間

上記の式は平均の速度を求める式です。ここでは瞬間の速度を求める式を使いますので、次のように距離(変位)を時間で微分した式になります。

瞬間の速度の計算

積分とは、細かくした面積を足し合わせていくことです。積分を使って、瞬間の速度と時間の積を足し合わせていくと距離(変位)が導きだせます。

したがって、瞬間の速度の式を、速度の求め方で導きだしたv=gtの式に代入して、両辺を時間について積分すると距離が求められます。

積分を使った距離の求め方

求めた距離の式を見てもらうと、物体の移動距離は時間の2乗の大きさで長くなることがわかります。

いままでの計算過程(加速度→速度→距離)は積分して求めてきましたが、計算過程を逆にして(距離→速度→加速度)にする時は微分して計算していきます。距離を微分すると速度、速度を微分すると加速度になります。

少し難しいですが、加速度、速度、距離の関係 も勉強して知識を深めて見てください。

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